所谓“几何作图三大难题”，其所以“难”，只不过是因为受到作图工具的限制(只许用圆规和直尺)所致。如果取消这种限制，则所谓的“几何作图难题”都可以作出，也就不难了。两千多年来，人们沿袭欧几里得只许用圆规和直尺的规定来作几何图形，这本来就相当苛刻了，更有甚者，有人竟提出，只用圆规或仅用直尺作图，并对此进行了研究。

仅用圆规的作图

意大利数学家马索若尼连直尺也可以去掉，他巧妙地证明了凡用圆规和直尺所能作出的图形，仅用圆规也同样可以作出。他把自己的研究成果，写成了《圆规几何学》的专著(据说比马索若尼早一个世纪的丹麦数学家海尔姆斯列夫在其《欧几里得作图》一书中，已经包含了《圆规几何学》中的成果)。

因为仅用圆规的作图无法画出直线，因此在这里约定：一条直线只要它上面的两个点已知，就算这条直线已被确定了。

1.问题的解决

要仅用圆规来代替圆规和直尺的作图，必须让圆规完成以下两件事：

(1)求已知两个点的一条直线与一个已知圆的交点；

(2)求各已知两个点的两条直线的交点。

对于第(1)件事又分：

如果已知圆的圆心O不在直线AB上时，如图1：可以点A为圆心，以AO为半径画弧，再以点B为圆心，以BO为半径画弧，二弧相交于另一个点O’，再以O’为圆心，作一与圆O等半径的圆，二圆相交于C、D即为所求的两个交点。

如果已知圆的圆心O在直线AB上时，请读者自行找出直线与圆的两个交点。

对于第(2)件事，完成也不困难，但因篇幅所限，留给读者去思考，对此训练一下自己的作图技巧。

这两项本来是由直尺完成的基本作图，现已由圆规独立完成了，从而仅用圆规可代替要用圆规和直尺同时完成的作图了。这种别具一格的作图虽然过程很繁琐，实际意义不大，但却充分显示了圆规这个作图工具比直尺更为灵巧。它的大量精妙的作图方法闪烁着人类智慧的光辉，有助于丰富人们的思维。因此，它仍不失为数学园地中的一枝奇葩。

2.拿破仑分圆问题

法国大革命时期的风云人物拿破仑，在他南征北战、日理万机的情况下，仍旧对平面几何颇感兴趣，并抽出一些时间来研究，他曾读过《圆规几何学》一书，兴奋之余，给法国的数学家出了一道题目：“把一个圆四等分，但不准用直尺。”

他自己也研究过并较圆满地解决了这个问题：如图2，在圆上任取一点A，从A出发，以此圆的半径r顺次截取B、C、D三点，则AD显然是圆的直径，而AC是圆的内接正三角形的一边，所以，再分别以A、D为圆心，以AC为半径画弧，两弧相交于M，则线段OM之长即为圆的内接正方形的边长。故在圆上可从任意一点出发，相继截取OM之长，则可将圆周四等分了。这是因为，在Rt△MAO中：，就是圆内接正方形的边长。

3.生锈圆规

美国几何学家、年逾七旬的老教授佩多，敏锐地看出：固定圆规半径的作图题，可能隐藏着有趣的奥妙，他把这种固定半径的圆规称为生锈圆规。佩多精心地选择了两个问题于1982年在加拿大的一份杂志上提出，征求解答：

(1)已知两点A、B，只用一把生锈圆规找出以AB为边的正三角形的另一顶点C;

(2)已知两点A、B，只用一把生锈圆规找出AB中点C。(应知，线段AB是没有画出来的，因为没有直尺!)

后来，事情的发展表明，正是由于这两个问题的解决，使生锈圆规的园地繁花怒放。不久，佩多的一个学生作出了一幅几何图，如图3，解决了佩多第一个问题的一小部分；如果AB