什么叫奇函数（什么是函数的奇偶性）
（学习算法必备数学知识）
作者简介：阿里巴巴高级技术专家，一直关注前端和机器学习领域相关技术，关注我查看更多深度硬核技术文章。
下面的基础数学知识涉及很多数学公式，头条号不支持Markdown格式，这些公式编辑起来真是累S我了。如果大家觉得有收获请帮忙点个赞、收个藏之类，这是对几天我写这篇文章的最大鼓励了，谢谢大家！
由于文章较长，头条号的字数限制，文章将分成3部分，本文是第1部分，第2部分内容参考文章末尾的 了解更多。
在机器学习的过程中，用到了很多算法知识，而算法中用到很多推导和计算，涉及到很多初中数学、高中数学、高等数学中的知识。在市面的机器学习书籍中，往往最基础的代数运行、多项式运算、函数等没有涉及，这对很多毕业多年的人来说或数学基础不好的人来说，在学习的过程中并不是很顺畅。而市面也没有一本数学大全将不同的数学知识涵盖起来。因此，笔者梳理了人民教育出版社的初中数学、高中数学，同济大学出版的高等数学中算法学习相关的16个知识点，方便学习和复习。
数学包括对数量（数论/算术）、结构（代数）、空间（几何）、变化（分析）的研究，还包括逻辑、集合、应用数学等方面的研究。
01、初中数学 - 数论中的数学概念
- 整数：正整数，0，负整数统称为整数
- 分数：正分数，负分数统称为分数
- 有理数：整数和分数统称为有理数（rational number)
- 相反数：正负的两个数互为相反数(opposite number)
- 倒数：一个数x与其相乘为1的数，即为1/x，其中x!=0
- 无理数：无限不循环小数叫无理数，包括正负无理数，如很多数的平方根或立方根是无理数。如
。
- 实数：有理数 + 无理数统称为实数。包括正实数 + 负实数。对应平面上的横轴。
- 虚数：将偶指数幂是负数的数定义为纯虚数（形如a+bxi的数，其中a,b是实数，且b≠0,i2=-1。a为实部，b为虚部），虚数无算术根。对应平面上的纵轴。
- 复数：实数 + 虚数称为复数。
02、初中数学 - 整式乘法
1、多项式相乘
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
2、平方差公式
formula for the difference of squares：两个数的和与两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
3、平方和公式
formula for the square of the sum：两个数的和（或差）的平方，等于他们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍。
4、因式分解
a2?b2 = (a+b)(a?b)
a2+2ab+b2 = (a+b)2
a2?2ab+b2 = (a?b)2
03、初中数学 - 一元二次方程
一元二次方程求解
04、初中数学 - 多项式
Polynomial,由称为未知数的变量和称为系数的常数通过有限次加减法、乘法以及自然数幂次的乘方运算得到的代数表达式。
单项式：仅由一项构成的多项式称为单项式
常数项：一项中不含未知数
示例
x2+3x?4 为三项一元二次多项式
x3+2y2?4z 为三项三元三次多项式应用
1、多项式的加减乘除
2、多项式的矩阵乘除
3、因式分解
4、多项式方程、函数
多项式在推导计算算法复杂度用得较多。
05、高中数学 - 集合
集合在算法图论中用得较多。
把对象称为元素(element)，把元素组成的总体叫集合，简称集(set)。如果两个集合的元素相同则两个集合相等。
a属于集合记作：a∈A
a不属于集合B记为：a?B
1、集合的表示
列举法：把集合里的所有元素一一列举出来，并用 {} 括起来表示集合的方法。如：{a,b}
描述法：无法用列举法表示的无穷个元素的集合，利用集合中元素的共同特征来表示的方法。如：{x∈R|x<10}
2、集合的关系
1）子集
对于两个集合A和B，如果集合A中任意一个元素都是B中的元素，则称集合A为B的子集。记作：A?B 或 B?A
韦恩图(Venn)：平面上封闭曲线的内部代表集合。
子集韦恩图：
2）真子集
如果集合 A?B，但存在元素 x∈B，且 x?A，则称集合A是集合B的真子集(proper subset)。记作：A?B 或 A?B
3）空集
不包含任何元素的集合叫空集(empty set)。记作：?
3、集合的基本运算
1）并集
由所属集合A及所属集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集(union set)，记作：A∪B。或：A∪B={x|x∈A,或x∈B}
2）交集
由属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集(intersection set)，记作：A∩B。即:且A∩B={x|x∈A,且x∈B}
3）全集
一个集合包含研究问题中涉及的所有元素，则该集合为全集(universe set)，记作U。
4）补集
对于一个集合，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，记作：CUA，即：且CUA={x|x∈U,且x?A}
07、高中数学 - 充要条件
充要条件在算法的推导论证中需要用到。
1、真命题
若p，则q，即由p可以推出q，记作：p?q。
p是q的充分条件(sufficient condition)
q是p的必要条件(necessary condition)
2、假命题
若p，不能得出q，即由p不能得出结论q。记作：p?q
3、逆命题
“若p，则q” 中的条件p和结论q互换，得到一个新的命题 “若q，则p”，则该命题为原命题的逆命题。
4、充要条件
“若p，则q” 中的条件p和结论q互换，得到一个新的命题 “若q，则p”，均为真命题，即：p?q，又 q?p，记作：p?q。
此时 p即是q的充要条件，也是q的必要条件，则说p是q的充分必要条件，简称充要条件(sufficient adn necessary condition)
5、全称量词
短语 “所有的”、“任意一个” 在逻辑中通常叫做全称量词(universal proposition)。用符号：? 表示。
含有全称量词的命题称为全称量词命题(universal proposition)。
对于M中任意一个x, p(x)成立，记作：?x∈M, p(x)
6、存在量词
短语 “存在一个”，“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词(existential quantifier)，用符号：? 表示。
含有存在量词的命题称为存在量词命题(existential proposition)。
存在M中的元素x，p(x)成立，记作：?x∈M,p(x)
7、全称量词的否定
?x∈M,p(x)
否定：
?x∈M,?p(x)
8、存在量词的否定
?x∈M,p(x)
否定：?x∈M,?p(x)
08、高中数学 - 函数
函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具。
设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系 f, 在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，则称f: a→B为从集合A到B的一个函数(function)。记作：y=f(x),x∈A。其中：
x:自变量
x的取值范围叫做函数的定义域(domain)
与x值对应的y值叫做函数值，也是函数的值域(range)。即{f(x)|x∈A}
1、开闭区间
研究函数时常会用到区间的概念，设a,b是两个实数,而且a<b
(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示为[a,b]
(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间,表示为(a,b)
(3)满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间,分别表示为[a,b),(a,b].
实数a与b都叫做相应区间的端点这些区间的几何表示如下所示，在数轴表示时,用实心点表示包括在区间内的端点,用空心点表示不包括在区间内的端点。实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),"∞”读作"无穷大”,"-∞”读作"负无穷大”,”读作"正无穷大”
2、函数的表示
函数可以用坐标线表示。
3、单调性与最大值、最小值
单调性：利用函数图像研究函数值随自变量的增大而增大（或减少）的性质叫函数的单调性。
单调递增：设函数f(x)的定义域为I ,区间D是I的真子集。如果Vx1,x2∈D,当x1 < x2时, 都有 f(x1) < f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增。
增函数：当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数(increase function)
单调递减：设函数f(x)的定义域为I ,区间D是I的真子集。如果Vx1,x2∈D,当x1 > x2时, 都有 f(x1) > f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递减。
减函数：当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数(increase function)
单调区间：如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减, 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间
最大值：
设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 (1)Vx∈I ,都有f(x)≤M; (2)彐x0∈I,使得f(x0)=M 则M是函数y=f(x)的最大值( maximum value).最小值：
设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 (1)Vx∈I ,都有f(x)>=M; (2)彐x0∈I,使得f(x0)=M 则M是函数y=f(x)的最小值( minimum value).
4、奇偶性
偶函数(even function)：设函数f(x)的定义域为I,如果Vx∈I,都有-x∈I, 且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数(even function).
奇函数(odd function）：设函数f(x)的定义域为I, 如果x∈I,都有一x∈I, 且f(-x)=-f(x), 那么函数f(x)就叫做奇函数( odd function)
08、高中数学 - 幂函数
幂函数：形如
的函数，都是以幂的底数为自变量，指数为常数，这些函数称为幂函数(power function)。
09、高中数学 - 指数函数
1、n次方根
如果 
，则x叫做a的n次方根，其中n>1且 
。a的n次方根用符号： 
表示根式： 
叫根式(radical)，n为根指数，a叫被开n次方。
n为奇数、偶数时n次方根计算：
- 当n是奇数时, 正数的n次方根是一个正数, 负数的n次方根是一个负数. 这时, a的n次方根用符号表示 
.
- 当n是偶数时, 正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数. 正数a的正的n次方根用符号
表示, 负的n次方根用符号- 
.表示, 正的n次方根与负的n次方根可以合并写成± 
(a>0).
负数没有偶次方根
0的任何次方根都是0,记作0=0.
性质
1. 
2. 
3. 
4. 0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义
5. 
6. 
7. 
2、指数函数
函数且叫指数函数(exponential function)，其中x为自变量，定义域为R。
1) 函数y=a(a>0,且a≠1)的图象.由于底数a可取大于0且不等于1的所有实数,所以不妨用一端圆定于y轴的水平线段PA的长度来表示底数a的值, 即点A的横坐标xA显示的就是a的取值
2) 如图1,从左向右拖动点A(0<xA<1),则xA的值逐渐增大,当xA 的值越来越接近于1时,图象就越来越接近于直线y=1;当xA=1时,图象就是直线y=1; 继续向右拖动点A(xA>1),如图2,图象发生了变化.
指数函数乘除
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
10、数列、导数、定积分、微积分、矩阵等
这些内容显示不完，看文章下方的 了解更多，进入第2部分内容。
-------------------我是分割线--------------------
因为字数限制，很多知识点内容没有列完，如导数、定积分、微积分、矩阵等，可以看文章下方的 了解更多 链接查看第2部分的内容。
作者简介：阿里巴巴高级技术专家，一直关注前端和机器学习领域相关技术。关注我持续给你带来更多深度硬核技术干货。
