双曲线的参数方程（双曲线的基本知识点）

椭圆方程.

1. 椭圆方程的第一定义：

|PF?|+|PF?|=2a>|F?F?|方程为椭圆

|PF?|+|PF?|=2a<|F?F?|无轨迹

|PF?|+|PF?|=2a=|F?F?|以F?,F?为端点的线段

⑴①椭圆的标准方程：

i. 中心在原点，焦点在x轴上：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0). ii. 中心在原点，焦点在y轴上：y2/a2+x2/b2=1(a>b>0).

②一般方程：Ax2+By2=1(A>0,B>0)

③椭圆的标准参数方程：x2/a2+y2/b2=1的参数方程为{x=acosθ.y=bsinθ.（一象限θ应是属于0<θ<π/2）.

⑵①顶点：(±a,0)(0,±b)或(0,a±)(±b,0)

②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b

③焦点：(-c,0)(c,0)或(0,-c)(0,c)

④焦距：|F?F?|=2c,c=√(a2-b2)

⑤准线：x=±a2/c或y=±a2/c

⑥离心率：e=c/a(0<e<1)

⑦焦点半径：

i.设P(x0.y0) 为椭圆x2/b2+y2/a2=1上的一点，F?,F?为左、右焦点，则|PF?|=a+ex0,|PF?|=a-ex0=>由椭圆方程的第二定义可以推出.

ii.设P(x0,y0)为椭圆x2/b2+y2/a2=1(a>b>0)上的一点，F?,F?为上、下焦点，则|PF?|=a+ey0,|PF?|=a-ey0=>由椭圆方程的第二定义可以推出.

由椭圆第二定义可知：|pF?|=e(x0+a2/c)=a+ex0(x0<0),|pF?|=e(a2/c-x0)=ex0-a(x0>0)归结起来为“左加右减”.

注意：椭圆参数方程的推导：得N(acosθ,bsinθ)→方程的轨迹为椭圆.

⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：d=2b2/a2(-c,b2/a)和(c,b2/a)

⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率是e=c/a(c=√(a2-b2))，方程x2/a2+y2/b2=t(t是大于0的参数，a>b>0)的离心率也是e=c/a 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.

⑸若P是椭圆：x2/a2+y2/b2=1上的点.F?,F?为焦点，若∠F?PF?=θ，则△F?PF?的面积为b2tanθ/2（用余弦定理与|PF?|+|PF?|=2a可得）. 若是双曲线，则面积为b2·cotθ/2.

二、双曲线方程.

1. 双曲线的第一定义：

||PF?|-|PF?||=2a<|F?F?|方程为双曲线

||PF?|-|PF?||=2a>|F?F?|无轨迹

||PF?|-|PF?||=2a=|F?F?|以F?,F?的一个端点的一条射线

⑴①双曲线标准方程：x2/a2-y2/b2=1(a,b>0),y2/a2-x2/b2=1(a,b>0). 一般方程：Ax2+Cy2=1(AC<0).

⑵①i. 焦点在x轴上：

顶点：(a,0),(-a,0) ;焦点：(c,0),(-c,0）;准线方程x=±a2/c; 渐近线方程：x/a±y/b=0或x2/a2-y2/b2=0.

ii. 焦点在y轴上：

顶点：(0,-a),(0,a). 焦点：(0,c),(0,-c). 准线方程：y=±a2/c. 渐近线方程：y/a±x/b=0或y2/a2-x2/b2=0，参数方程：{x=secθ,y=btanθ或{x=btanθ,y=asecθ .

②轴x,y为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c.

③离心率e=c/a.

④准线距2a2/c（两准线的距离）；通径2b2/a.

⑤参数关系c2=a2+b2,e=c/a.

⑥焦点半径公式：对于双曲线方程x2/a2-y2/b2=1（F?,F?分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）

“长加短减”原则：

⑶等轴双曲线：双曲线x2-y2=±a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y=±x，离心率e=√2.

⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.x2/a2-y2/b2=λ与x2/a2-y2/b2=-λ互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：x2/a2-y2/b2=0.

⑸共渐近线的双曲线系方程：x2/a2-y2/b2=λ(λ≠0)的渐近线方程为x2/a2-y2/b2=0如果双曲线的渐近线为x/a±y/b=0时，它的双曲线方程可设为x2/a2-y2/b2=λ(λ≠0).

例如：若双曲线一条渐近线为y=1/2x且过p(3,-1/2)解：令双曲线的方程为：

解：令双曲线的方程为：x2/4-y2=λ(λ≠0)，代入(3,-1/2)得x2/8-y2/2=1.

⑹直线与双曲线的位置关系：

区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；

区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；

区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；

区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；

区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.

小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.

（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入△法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.

⑺若P在双曲线x2/a2-y2/b2=1，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.

简证：d?/d?=|PF?|/e/|PF?|/e = m/n.

常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.

三、抛物线方程.

3. 设p>0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：

注：①ay2+by+c=x顶点((4ac-b2)/4a-b/2a).

②y2=2px(p≠0)则焦点半径|PF|=|x+P/2|;x2=2py(p≠0)则焦点半径为|PF|=|y+p/2|.

③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.

④y2=2px（或x2=2py）的参数方程为{x=2pt2,y=2pt（或{x=2pt,y=2pt2）（t为参数）.

四、圆锥曲线的统一定义..

4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线ι的距离之比为常数e的点的轨迹.

当0<e<1时，轨迹为椭圆；

当e=1时，轨迹为抛物线；

当e>1时，轨迹为双曲线；

当e=0时，轨迹为圆（e=c/a，当c=0,a=b时）.

5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.

因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.

注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质.

2. 等轴双曲线

3. 共轭双曲线

5. 方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程.

6.共渐近线的双曲线系方程.

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