全等三角形的判定（全等三角形的证明）

一、引言

近年来，有关不同国家数学教材比较研究的文献日益丰富，但已有研究大多关注现行教材。作者曾在国家社会科学基金“十一五”规划教育学重点课题“主要国家高中数学教材的比较研究”子课题九的研究过程中，深深体会到，要全面、深入地研究某个国家的数学教材，就需要了解该国的数学教育史。因此，早期美国几何教材进入了我们的视野。

全等三角形是平面几何的基础，在欧几里得《几何原本》中，第1卷命题4就安排了全等三角形判定定理，可见该知识点对于平面几何的重要性。那么，围绕全等三角形这一主题，早期美国几何教材呈现了哪些内容？与今天的教材有何异同？对今天教材的编写有何启示？为了回答上述问题，我们对19世纪末至20世纪初三十年间的10种美国中学几何教材进行了研究。

二、基本信息

10种早期几何教材中，教材4~6和教材10没有给出全等三角形的定义，教材1~3和教材7~9给出了定义，这些定义可分成两类。第1类为“全等图形”的定义（教材1）：若两个图形（三角形）的所有部分对应相等，则称这两个图形全等。第2类为“全等三角形”的定义（2，3，7，8，9）：若两个图形（三角形）所有部分对应重合，则称这两个图形全等。教材4，5，6，10未给出全等形的定义。

引入全等三角形判定定理的方式有三类：第1类为直接引入（教材1，2，4，5，6，8，9）；第2类为问题引入（教材3），即通过提出如何构造与已知三角形全等的图形的一系列问题引入；第3类为实验探究引入（教材7，10），即通过实验探究如何构造与已知三角形全等的三角形。

与《几何原本》一样，10种教材都给出了边角边、角边角和边边边定理。定理的顺序安排有两种：第1种顺序是《几何原本》中的顺序（教材1~6，9，10），即“边角边—角边角—边边边”；第2种顺序（教材7，8），即“角边角—边角边—边边边”。

此外，教材2中出现了“角角边”定理。还给出“边边角”定理：若两个三角形有两条边和其中一条边的对角分别相等，则另一条相等的边所对的角相等或互补。证明采用了叠合法。

作为特例，10种教材都给出了直角三角形全等的判定定理，包括直角三角形中边角边定理、角边角定理、角角边定理、HL定理。而对于HL定理的证明，教材1采用了叠合法，教材3，4，6，7，9，10则采用了叠合法+等腰三角形性质+角角边定理，教材5采用了叠合法+边边边定理证明。

三、边边边定理的证明