数学悖论（逻辑的极限与数学的困境）
为什么自亚里士多德以来的25个世纪里，直觉没有得到像逻辑那样多的关注？直觉是难以捉摸的，难以定义和量化，有时还具有欺骗性。事实上，甚至还有不同种类的直觉。亚里士多德认为，直觉是照亮黑暗的灯塔。然而，在黑暗中的大多数时间，它也像一个探照灯指向错误的方向。另一方面，逻辑可以被严格地证明，是精确和确定的。
庞加莱：用逻辑来演示，用直觉来发明
亨利·庞加莱，1854 - 1921
亨利·庞加莱，法国数学家和物理学家，认识到我们的直觉可能有误导性（但主要负责数学的发展），逻辑推理是为了直观结果的最终论证。他把伟大的数学家分为两类，一类是遵循逻辑但不能“观察空间”的分析家，另一类是遵循直觉的几何学家，据庞加莱：
逻辑是证明的工具，只有它才能给出确定性；直觉是发明的工具（庞加莱，1969）。
想象一下，在一节初等几何课上，有一个叫小明的学生，她用直觉和逻辑学习几何。直觉被用来寻找证明策略。然后用逻辑一步一步地建立一个证明。小明遇到了以下问题：
已知三角形ABC，证明角a、角b、角c的和为180度。
小明马上想起了平角是180度。因此，他认为，这个问题一定和一条直线有关。但现在没有 直线，那么就在某处画一条直线（辅助线）。试试在其中一个顶点处画一条直线，随便选c，这条线应该是什么方向的？一个显而易见的选择是让它平行于AB。通过辅助线，小明发现角a和角d是相等的，角b和角e是相等的，但这只是直观感受。但是，小明确实记得平行假设中的一些东西，它们确实相等，因此a + b + c = e + d + c = 180。
在这一点上，他解决这个问题的所有想法都来自于猜测和自发的判断，这些都来自于他在课堂上所学到的知识。与其说他是一个逻辑推理者，不如说他是一个凭直觉进行猜测的人。接下来，她将运用自己的逻辑推理能力将这些点连接起来，并向她的几何老师演示一个证明。即使是这个简单的例子，小明也展示了一个典型的数学家是如何用直觉来发明和用逻辑来演示的。
罗素：不需要意义的游戏
伯特兰·罗素，1872 - 1970
罗素和他的同事继续弗雷格未完成的研究（详细见：机器人之死——逻辑、直觉和悖论，决策者的困境）。然而，数学家们越是努力避免弗雷格所反对的那种悖论，就越容易得出更微妙、更深刻的悖论。
罗素给出了他的悖论的一个例证，叫做理发师悖论：
理发师会且只会为那些不给自己刮胡子的人刮胡子。理发师自己刮胡子吗？
如果理发师给自己刮胡子，他（这个理发师）就不给他刮胡子；这是一个矛盾。另一方面，如果理发师不给自己刮胡子，他就会被理发师刮胡子；这也是一个矛盾。
与弗雷格不同的是，罗素放弃了公理必须是不言而喻的这一观点，只要公理能够在不矛盾的情况下发展数学知识。他曾说过：
数学可以被定义为一个我们永远不知道自己在谈论什么，也不知道自己所说的是否正确的学科。
任何先验知识，无论它感觉如何不言而喻，都是被禁止的，人类的直觉在数学发展中应该没有一席之地。罗素的《数学原理》用了362页才推导出1+1=2，这并不奇怪。
《数学原理》第362页，1+1=2得到了证明。
希尔伯特：不需要玩家的游戏
德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert, 1862-1943）扩展了弗雷格和罗素的工作，提出了著名的希尔伯特方案，即数学的任何分支都可以被重新表述为一种形式理论，他提出以下3个问题是否存在正解：
一个形式理论，其中的公理不能产生矛盾，它的一致性能否在理论本身内得到证明？
形式理论能被证明是完备的吗，因为它包含了任何真正的数学陈述在它想要体现的特定分支中。
是否存在一个纯粹的机械过程，我称之为通用证明机制，来判定任何给定的数学命题的真假。这个问题在德语中被称为判定问题（Entscheidungsproblem）。
希尔伯特期望他所有问题的答案都是肯定的，这将完全消除直觉的必要性，使数学不再具有直觉性。在他对形式理论的乐观中隐含着他的实证主义，即所有数学问题都可以被解决的信念。他的名言
我们必须知道，我们将知道（Wir müssen wissen, Wir werden wissen）
镌刻在他的坟墓上。希尔伯特和他的同事被称为“形式主义者”。
希尔伯特认为，通过从一组一致的公理开始，一个形式理论可以是完整的，自我验证的。因为一个正式的理论不应该被人类解释，而是被机械地证明，所以它被称为一个正式的“系统”。将这种系统称为“正式”意味着以前对同一主题的处理是“非正式的”。关于他的欧几里得几何形式理论，希尔伯特曾经说过，与其谈论点、线、面，还不如谈论桌子、椅子和酒杯。
希尔伯特的“形式”数论
罗素认为数学是毫无意义的符号游戏，而希尔伯特则希望游戏本身能发挥作用。如果希尔伯特的宏伟愿景是正确的，一个正式的系统将总结过去，并确定数学的未来。具有讽刺意味的是，希伯特在这方面可能被自己的直觉误导了。
哥德尔：数学家的回归
库尔特·哥德尔
库尔特·哥德尔（1906-1978），奥地利裔美国逻辑学家。他在完备性定理中证明了一阶逻辑的符号规则覆盖了所有有效的逻辑推理，使希尔伯特程序看起来很有前途。然而，哥德尔的不完备性定理会破坏希尔伯特程序。他发现，有了后来以他的名字命名的编号方案，他可以把构成数字正式系统的数学表述表示为数字本身。这样，一个被认为可以证明数字事实的正式的数字系统，就可以证明关于它本身的事实。在哥德尔的编号下，一个正式的数字系统成为自我参照，如下所示：
此外，该理论还包括关于理论本身是否可证明的陈述。根据这一见解，哥德尔巧妙地构建了一个“说谎者悖论”的修改版本，如下所示：
哥德尔悖论
如果它是真的，那么它就不能在理论中被证明。如果它是假的，那么它说的一定是假的，这意味着它在理论中是可以证明的，因此它一定是真的。所以，我们有一个真正的数学命题，它既不能在理论中被证明也不能被否定。一个数学理论的正式系统，即使是像数论那样的初等系统，也只是一个近似值。
图灵：程序员的崛起
可计算的是什么？
即使我们满足于一个不完备的形式系统，是否存在一个通用证明机制来解决判定问题？在深入研究这个问题之前，我们需要回答什么是“纯粹的机械过程”。英国数学家阿兰·图灵（Alan Turing, 1912-1954）定义了一个“纯机械过程”的数学模型。模型中定义的机器会扫描被分割成方块的假想磁带。根据规则表和它自己的内部状态，它接下来在方块上写一个符号，然后要么保持不变，要么向右或向左移动一个方块。这个机器模型后来被称为图灵机，他用它来进行数学论证，而不是制造一台真正的计算机。一般认为宇宙中的一切都是可计算的，当且仅当它可以简化为图灵机。这被称为丘奇-图灵假说。上面提到的规则表现在被称为“计算机程序”。
停机问题
在定义了图灵机之后，图灵进一步证明了希尔伯特通用证明机制的不存在性。受到哥德尔的编号方案的启发，图灵将机器编码为数字，这样机器就可以被研究为数字，这些数字可以作为其他机器的输入。现在图灵可以提出停机问题了：有没有一种机器N，可以决定是否有任何机器在给定的输入下停止或永远循环。图灵指出，仅仅是这种机器N的存在就会导致矛盾。
1954年，NACA“计算机”与显微镜和计算器一起工作。
图灵假设有一个特殊的机器M，它的工作与N的工作完全相反。如果N判定一台机器在将自己作为输入时停止，M将永远循环。另一方面，如果N判定一台机器永远循环，在这种情况下M将停止。这样，你可以说M是被设计来故意破坏N的。现在的问题是：当特殊机器M将自己作为输入时，它会停机吗？
如果M在M上停止，根据M的定义，M将永远循环——矛盾
如果M在M上永远循环，M将停止——另一个矛盾
这个自我参照悖论如下所示：
停机问题。
因此，N不存在。停机问题无法解决，或者从技术上讲，它是无法确定的。
现在我们可以回到希尔伯特的判定问题。如果存在通用证明机制，我们可以通过将任何对N的查询表述为一个数学语句，使其成为N。然而，N并不存在，通用证明机制也不存在。另一方面，如果N确实存在，我们可以用以下简单的方式实现通用证明机制：首先，编写一个程序，无限地搜索一个数学语句的所有可能的证明，找到一个就停止；接下来，我们询问N这样的搜索程序是否停止。因此，停机问题的不可解性意味着判定问题的不可解，反之亦然。
如果我们想象有N存在，我们就可以很容易地解决许多困难的或开放的数字理论问题。例如，我们可以证明哥德巴赫猜想，即每个大于2的偶数都是两个质数的和。我们可以简单地编写一个程序来遍历从4开始的所有偶数，并检查每个偶数是否确实是两个素数的和。然后，我们将把程序提供给N，并询问它是否停止，从而证明猜想。事实上，这个问题还没有解决。
不要为人类理性的力量设定任何界限，而要为数学中纯粹形式主义的可能性设定界限。
换句话说，哥德尔和图灵所展示的是没有使用直觉的逻辑推理的局限性。他们实际上证实了庞加莱的观点，即逻辑虽然严谨和确定，但它只是一种演示工具，需要由直觉来辅助。
希尔伯特的形式理论是数学知识的近似值。正如宇宙的物理现实仍然是一个谜，需要物理学家去解决它，数学知识的前沿对数学家来说仍然是难以捉摸的。现在，数学家和他们的直觉又回到了游戏中。
计算机的诞生和程序员的崛起
在对停机问题的证明中，假设的机器M必须有一种方法能够运行N来破坏它。为了实现这一点，图灵创造了通用机器，它可以读取任何图灵机的编码。从外部来看，你无法分辨是通用机器还是特定的机器在工作。现代计算机是以通用机为基础的，通用机通常被描述为“强大”到可以做任何可以想象到的事情。但是，它的力量从何而来？它实际上是一个用来运行其他图灵机的空壳，这些机器肯定是由某些人编写的，不是通过逻辑推理，而是通过创造力、洞察力、判断和我们心理的许多其他方面的努力，这些努力可以统称为直觉。从这个角度来看，图灵不仅发明了计算机，而且创造了程序员的角色，他们负责利用通用机器的“表达能力”来编程。我们拥有的是几乎触及我们日常生活方方面面的万能电脑，而不是把自己锁在象牙塔里的全能逻辑机器！
