万有引力公式（关于引力，爱因斯坦是对的）

引力是什么？

这是几百年来许多科学家苦苦思索的问题。我们跳得再高，瞬间都会回到地面；我们向天空射出一枚子弹，过一会儿它也将掉落地面；就连飞到几百公里高空的人造卫星，只要哪一天它燃料耗尽，也难逃回落地球并在与大气摩擦中焚毁的命运。

我们知道这都是引力造成的，但引力究竟有多大？它究竟是如何产生的？直到牛顿被苹果砸中脑袋之前，没有人能给出科学的答案。

牛顿发现万有引力

公元1666年，23岁的艾萨克·牛顿为躲避在伦敦爆发的黑死病逃到了偏远乡村的农场，尽管离开了剑桥大学，但他在乡村寂寞无聊的日子里一直没有停止思考。某一天在苹果树下，牛顿被一颗成熟的苹果砸中，盯着滚落在地的苹果，他突然意识到，苹果之所以下落，是因为大地对它的重力引起。而这个重力不只存在于地面，它可能是宇宙中一切星体相互吸引的根本原因。

牛顿与苹果

1669年，27岁的牛顿当上了剑桥的数学教授。1687年，牛顿创立了物体间力相互作用的定律，他认为宇宙中任何两个物体之间都有相互的吸引力，这个力的大小与两个物体的质量成正比，同时与它们之间的距离的平方成反比。

鉴于当时科学技术水平的局限，牛顿无法测定那个极小的引力常数G的值，因此万有引力公式被写成：

F∝mM/r2

在这个公式中，F为两个物体相互间的引力，m与M分别为两个物体的质量，r为物体间的距离。

一百多年后的1798年，英国物理学家亨利·卡文迪许通过精密的扭秤法测出引力常数G的值约为：6.754×10?11 N·m2/kg2，自此，万有引力公式被改写为：

F=（G×m?×m?）/r2

万有引力公式

万有引力的发现为天体力学奠定了基础，自此之后科学家们对天体运动的研究就有了理论依据，他们可以非常精确地测出太阳、地球与月球的质量与引力关系，准确计算彗星的轨道，甚至还通过行星间轨道的细微变化推测到遥远太空中海王星的存在。

万有引力定律是如此准确，以致于你不需要亲自登上月球就能计算出自己在月球表面的重量。就连月球对地球同步轨道卫星的微小摄动力，也可以通过万有引力公式求出。

牛顿发现了宇宙中一切物质间都存在相互之间的引力，这个引力与它们的质量及距离相关，并且以一个简单易懂的公式将这个关系表示出来，为人类探索宇宙提供了一个强大的工具。牛顿是伟大的。

因为月球引力仅为地球的1/6，阿波罗13号宇航员到时会轻松许多

但牛顿的万有引力理论没有解决一些根本问题：引力的实质是什么？引力与宇宙中其它力之间到底存在什么样的关联？万有引力适用于一切场合吗？

这些问题直到二十世纪初另一个天才的出现，才有了进一步的解答。

广义相对论的提出

1915年底，瑞士伯尔尼专利局的小职员阿尔伯特·爱因斯坦向普鲁士科学院提交了他的广义相对论论文。在论文中，爱因斯坦提出两条革命性观点：

一、等效原理：引力场与惯性力场在动力学上是等效的；

二、广义相对性原理：所有的物理定律在任何参考系中的形式都相同。

青年爱因斯坦

为了创立相对论，爱因斯坦提前好几年学习了微分几何，这是一个研究弯曲空间的数学工具。因为爱因斯坦认为一切有质量的物体都拥有能量，它会使其周围的空间发生变形，同时速度也将扭曲时间。在这个扭曲的时空中，传统的欧几里德几何学几乎毫无用处，他需要用全新的思维方式和全新的数学工具来解决扭曲时空的问题。

一个因重力扭曲三维空间的二维切片示意图

爱因斯坦的引力场方程远不如牛顿的万有引力定律那样容易理解，事实上这个拥有多达16个变量的二阶非线性偏微分方程组可以让世界上绝大多数人陷入绝境，即使你精通数学，要想通过数学的方法求得它的解也是件极困难的事情。

爱因斯坦场方程

相对论预言

由于爱因斯坦的引力场方程太过于烧脑，所以咱们不再讨论这个方程以及引力关系的推导，只说几个由此方程所计算出来的结果以及被证实的爱因斯坦广义相对论预言。

水星轨道进动：

1859年，法国天文学家勒威耶在利用牛顿万有引力定律计算水星轨道时发现存在误差，他发现水星在其轨道近日点的实际观测进动值比理论计算值每100年快了38角秒。没有人怀疑牛顿，按照万有引力定律，水星的椭圆轨道应该是固定的，于是大家猜测在水星与太阳之间有可能还存在另一颗行星，是这颗名叫“瓦肯人”的行星把水星给拖快了。然而没人能找到这颗星，因为“瓦肯人”根本不存在。

水星进动轨道

当将各种常数、定义以及变量代入爱因斯坦场方程，再进行一系列复杂的推算之后，人们得到如下进动角位移公式；再代入太阳质量以及水星轨道一系列参数，物理学家们准确地得到了38角秒这个值。

广义相对论推导进动公式

光被重力弯曲

按照相对论的等效原理，光尽管没有静止质量，但它有能量，光的能量被等效为质量。因此当光经过大质量天体附近时，它应该被重力吸引而发生偏转或弯曲。

1919年，太阳发生日食，英国天体物理学家亚瑟·爱丁顿在西非和巴西观察到了遮蔽太阳背后Hyades星团位置的变化，他看到了本应被太阳挡住的Hyades星团发出的光，星光在经过太阳附近时被弯曲了。由此证明了爱因斯坦的质能方程和广义相对论是正确的。

引力透镜弯曲光线形成“爱因斯坦十字”

后来，天文学家们又观察到了由于“引力透镜”现象而产生的“爱因斯坦十字”，进一步证实了光可以被大质量天体引力弯曲。

引力红移

今天的天体物理学家广泛使用引力红移现象来判断遥远星球的运动方向，并由此得出“宇宙大爆炸”的假想。引力红移是由爱因斯坦质能方程及广义相对论推测出的物理现象，因为光的能量与其频率成比例，所以向较低能量的移动表示向较低频率和较长波长的移位，可见光将向红外光的移位。也就是说当光从引力场逃逸时，它会失去能量，从而使波长变长。

光子逃离引力场时发生光谱红移

2018年5月，欧洲南方天文台的科学家们将望远镜对准了距离我们2.8万光年银河系中心的一颗编号为S2的恒星，它正在以7600km/s的速度接近银河系中心黑洞人马座Sgr A，当S2掠过黑洞附近时，它的光谱开始变红。

为了追踪S2恒星，科学家们分别利用牛顿的万有引力定律和爱因斯坦的引力场方程对其轨道进行了计算，结果表明爱因斯坦的答案与实际观测结果高度吻合，相当于打了9环，而牛顿的结果却差得比较远，他脱靶了。

S2恒星高速掠过黑洞附近，它验证了广义相对论

引力波

万有引力定律无法解释引力波，而通过爱因斯坦的广义相对论预测了引力波的存在。

在广义相对论中，引力被视为时空的曲率，因此爱因斯坦认为引力波是空间和时间本身结构中的涟漪。引力波在通过时交替地拉伸和压缩空间，但是在非常小的尺度范围内（ 即使对于两颗黑洞相撞，它产生空间形变的尺度也只在10?21米以内）。

2015年激光干涉引力波天文台首次探测到遥远天体相撞发出的引力波，此后又多次探测到黑洞合并发出的引力波，由此证明了爱因斯坦时空弯曲的设想是正确的。

两个黑洞在接近的过程中激发出引力波示意图

基于相对论的其它预言：黑洞、视界事件与奇点；时间的测量是相对的，在强引力场中时间会减慢——对于观察者B来说，A的速度越快，时间越慢，而对于A自己来说他的时间是正常的；宇宙膨胀与宇宙演化；双星系统通过引力辐射损失能量，从而使其相互靠近，如果它们是中子星，会发出规律的脉冲信号，从而形成脉冲星。

所有以上的预言有些已经通过观测与实验得到了验证，有些部分得到了验证，所有的这些都是万有引力理论所力不能及的。

既然广义相对论是对的，就证明万有引力错了吗？

科学并不是非此即彼。

牛顿的万有引力理论认为，物体因为有质量才拥有引力，你可以认为牛顿已经解释了引力的本质，它就是物体质量的表现。

而爱因斯坦因为他的狭义相对论，加上19世纪中叶麦克斯韦场方程、洛伦兹变换等一系列电磁学研究的成果，其核心是对空间与时间的描述。他将物体的质量与其能量相等效，认为能量等同于质量。爱因斯坦也知道两个物体之间的引力与它们的质量成正比，所以他说物体的质量决定了能量-动量密度，能量-动量密度造成时空曲率，并且与时空曲率成正比，进而确定了引力场的强度。

牛顿与爱因斯坦

由此造成的不同是，牛顿的万有引力是瞬时的，相对论则认为引力是场，它与光速相同。假设太阳瞬间消失，按照万有引力定律，地球会同时脱离轨道；而相对论则认为地球将在8分钟之后才会脱离。牛顿不考虑时间变化，而爱因斯坦认为时间也会发生扭曲（由此会造成一个奇怪的现象，两个走时极准的原子钟，从地面上看，卫星上的那一台会慢一些，而在卫星上看它并没有变慢）。

万有引力定律没有错，它只是不适用于某些场合。

熟悉现代物理的朋友都知道，广义相对论也并非绝对正确，它并不适用于微观粒子世界的解释，并且到目前为止也没有出现任何一个理论能将相对论与量子力学相统一。同样地，未来人类在对更加广阔空间的探索中，必然会发现更多相对论无法解释的现象。

直到今天，我们依然在利用万有引力定律来解决身边的许多力学问题，一方面在许多物理场合我们用不着那么精确，另一方面因为万有引力定律简单且优雅。这就像是你学会了微积分，但在去超市购物时却用不着它，你只需要用到小学时学会的加减乘除就足够了。