数学建模模型解题法（数学建模的几种常用方法 ）

1983年，数学建模作为一门独立的课程进入我国高等学校，在清华大学首次开设。1987年高等教育出版社出版了国内第一本《数学模型》教材。20多年来，数学建模工作发展的非常快，许多高校相继开设了数学建模课程，我国从1989年起参加美国数学建模竞赛，1992年国家教委高教司提出在全国普通高等学校开展数学建模竞赛，旨在“培养学生解决实际问题的能力和创新精神，全面提高学生的综合素质”。近年来，数学模型和数学建模这两个术语使用的频率越来越高，而数学模型和数学建模也被广泛地应用于其他学科和社会的各个领域。本文主要介绍了数学建模中常用的方法。

一、数学建模的相关概念

原型就是人们在社会实践中所关心和研究的现实世界中的事物或对象。

模型是指为了某个特定目的将原型所具有的本质属性的某一部分信息经过简化、提炼而构造的原型替代物。一个原型，为了不同的目的可以有多种不同的模型。

数学模型是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的，进行一些必要的抽象、简化和假设，借助数学语言，运用数学工具建立起来的一个数学结构。

数学建模是指对特定的客观对象建立数学模型的过程，是现实的现象通过心智活动构造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化的或符号的表示，是构造刻画客观事物原型的数学模型并用以分析、研究和解决实际问题的一种科学方法。

二、教学模型的分类

数学模型从不同的角度可以分成不同的类型，从数学的角度，按建立模型的数学方法主要分为以下几种模型：几何模型、代数模型、规划模型、优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型等。

三、数学建模的常用方法

1.类比法

数学建模的过程就是把实际问题经过分析、抽象、概括后，用数学语言、数学概念和数学符号表述成数学问题，而表述成什么样的问题取决于思考者解决问题的意图。类比法建模一般在具体分析该实际问题的各个因素的基础上，通过联想、归纳对各因素进行分析，并且与已知模型比较，把未知关系化为已知关系，在不同的对象或完全不相关的对象中找出同样的或相似的关系，用已知模型的某些结论类比得到解决该“类似”问题的数学方法，最终建立起解决问题的模型。

2.量纲分析法

量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上，利用物理定律的量纲齐次性，确定各物理量之间的关系。它是一种数学分析方法，通过量纲分析，可以正确地分析各变量之间的关系，简化实验和便于成果整理。

在国际单位制中，有七个基本量：质量、长度、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为M、L、T、I、H、J和N，称为基本量纲。

量纲分析法常常用于定性地研究某些关系和性质，利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系，在数学建模过程中常常进行无量纲化，无量纲化是根据量纲分析思想，恰当地选择特征尺度将有量纲量化为无量纲量，从而达到减少参数、简化模型的效果。

3.差分法

差分法的数学思想是通过taylor级数展开等方法把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的方程组，将微分问题转化为代数问题，是建立离散动态系统数学模型的有效方法。

构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有以下几种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。

差分法的解题步骤为：建立微分方程；构造差分格式；求解差分方程；精度分析和检验。

4.变分法

变分法是处理函数的函数的数学领域，即泛函问题，和处理数的函数的普通微积分相对。这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造，最终寻求的是极值函数。现实中很多现象可以表达为泛函极小问题，即变分问题。变分问题的求解方法通常有两种：古典变分法和最优控制论。受基础知识的制约，数学建模竞赛大专组的建模方法使用变分法较少。

5.图论法

数学建模中的图论方法是一种独特的方法，图论建模是指对一些抽象事物进行抽象、化简，并用图来描述事物特征及内在联系的过程。图论是研究由线连成的点集的理论。一个图中的结点表示对象，两点之间的连线表示两对象之间具有某种特定关系(先后关系、胜负关系、传递关系和连接关系等)。事实上，任何一个包含了某种二元关系的系统都可以用图形来模拟。因此，图论是研究自然科学、工程技术、经济问题、管理及其他社会问题的一个重要现代数学工具，更是成为了数学建模的一个必备工具。

6.层次分析法

层次分析法即AHP(Analytic Hierarchy Process)方法，是20世纪70年代由美国著名运筹学学家T.L.Satty提出的。它是指将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法。这一方法的特点，是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为求解多准则或无结构特性的复杂决策问题提供了一种简便的决策方法。AHP十分适用于具有定性的，或定性定量兼有的决策分析。这是一种十分有效的系统分析和科学决策方法，现在已广泛地应用在企业信用评级、经济管理规划、能源开发利用与资源分析、城市产业规划、企业管理、人才预测、科研管理、交通运输、水资源分析利用等方面。

层次分析法的基本步骤是：建立层次结构模型；构造成比较矩阵；计算权向量并做一致性检验。

7.数据拟合法

在建立数学模型时,实际问题有时仅给出一组数据，处理这类问题较简单易行的方法是通过数据拟合法求得“最佳”的近似函数式———经验公式。从几何上看就是找一条“最佳”的曲线，使之和给定的数据点靠得最近，即进行曲线拟合。根据一组数据来确定其经验公式，一般可分为三步进行:

（1）决定经验公式的形式

根据所描绘系统固有的特点,参照已知数据的图形和特点或者它应服从的规律来决定经验公式的形式。大致思路：一是利用所研究系统的有关问题在理论上已有的结论，来确定经验公式的形式。二是在无现成理论情况下,最简单的处理手段是用描图的方法,将数据点连成光滑曲线,把它与已知函数曲线进行比较,找出与之比较接近的曲线。三是如要考虑所建立的模型必要的逻辑性与理论价值,可利用合适的数学方法,对所研究系统的有关问题进行定量化的机理分析,导出较为严密的数学公式。

（2）决定经验公式中的待定参数

一般可用线性情况下的最小二乘法，它误差较小,适用于测定数据比较精确的情况。在使用最小二乘法时,如遇到数学模型是非线性经验公式时，其中参数的待定通常是尝试能否经适当的变量替换,将之化为线性模型来计算。

（3）进行模型检验

求得确定的经验公式后,将实际测定值与用公式算出的理论值进行比较。

8.回归分析法

回归分析方法是统计分析的重要组成部分，用回归分析方法来研究建模问题是一种常用的有效方法，一般与实际联系比较密切，因为随机变量的取值是随机的，大多数是通过试验得到的，这种来自于实际中与随机变量相关的数学模型的准确度（可信度）如何，需通过进一步的统计试验来判断其模型中随机变量（回归变量）的显著性，而且往往需要经过反复地进行检验和修改模型，直到得到最佳的结果，最后应用于实际中去。回归分析的主要内容一是从一组数据出发，确定这些变量（参数）间的定量关系（回归模型）；二是对模型的可信度进行统计检验；三是从有关的许多变量中，判断变量的显著性（即哪些是显著的，哪些不是，显著的保留，不显著的忽略）；四是应用结果是对实际问题作出的判断.

根据回归模型中回归的特征，常见的回归模型有：一元线性回归模型、多元线性回归模型、非线性回归模型。具体选择哪种回归模型，一般方法如下：

（1）淘汰法

基本思想是把所有可选择的变量抖放进模型中，而后逐个做剔除检验，直到不能剔除为止，最后得到所选模型。

（2）纳新法

基本思想是先少选取几个变量进入模型，而后对其它变量逐个做引入模型的检验，直到不能引入为止。

（3）逐步回归法

基本思想是上述两法的结合。

9.数学规划法（线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、目标规划）

（1）线性规划

线性规划问题的共同特征：①一组可控因素（决策变量）X表示一个方案,一般X大于等于零；②约束条件是线性等式或不等式；③目标函数是线性的，求目标函数最大化或最小化。

线性规划问题的解法在变量比较少的情形下可以用图解法得到最优解，在变量比较多的情形下一般应用单纯形法求解，此时一般借助于计算机编程求解。

（2）非线性规划

如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数的最优化问题就是非线性规划问题。非线性规划问题的解法主要有罚函数法和近似规划法。

（3）整数线性规划

整数规划问题是要求决策变量取整数值的线性或非线性规划问题，可分为整数线性规划和整数非线性规划。求解整数规划的方法主要有分枝定界法和割平面法。实际中常用的是0-1规划。对于0-1规划问题的特例———指派问题，可以用匈牙利法求解。

（4）动态规划

动态规划法是20世纪50年代由贝尔曼等人提出,用来解决多阶段决策过程问题的一种最优化方法。能采用动态规划求解的问题的一般要具有3个性质：

最优化原理：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理。

无后效性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。

有重叠子问题：即子问题之间是不独立的，一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到。

动态规划法就是分多阶段进行决策,其基本思路是按时空特点将复杂问题划分为相互联系的若干个阶段,在选定系统行进方向之后,逆着这个行进方向,从终点向始点计算,逐次对每个阶段寻找某种决策,使整个过程达到最优,故又称为逆序决策过程。实际应用中可以按以下几个简化的步骤进行设计：分析最优解的性质，并刻画其结构特征；递归的定义最优解；以自底向上或自顶向下的记忆化方式（备忘录法）计算出最优值；根据计算最优值时得到的信息，构造问题的最优解。

（5）目标规划

目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。目前，已经在经济计划、生产管理、经营管理、市场分析、财务管理等方面得到了广泛的应用。

目标规划模型的建模步骤：根据要研究问题所提出的各目标与条件，确定目标值，列出目标约束与绝对约束；可根据决策者的需要，将某些或全部绝对约束转化为目标约束。这时只需要给绝对约束加上负偏差变量和减去正偏差变量即可；给各目标赋予相应的优先因子；对同一优先等级中的各偏差变量，若需要可按其重要程度的不同，赋予相应的权系数。

10.现代优化算法（禁忌搜索算法，模拟退火算法，遗传算法，神经网络）

总之，数学模型是运用数学的语言和工具、对部分现实世界的信息(现象、数据等)加以翻译、归纳的产物。数学模型经过演绎、推断，给出数学上的分析、预报、决策或控制，再经过解释，回到现实世界。最后，这些分析、预报、决策或控制必须经受实际的检验，完成实践———理论———实践这一循环。如果检验的结果是正确或基本正确的，就可以用来指导实际；否则，要重新考虑翻译、归纳的过程，修改数学模型。数学模型的建立不仅依赖于丰富的数学知识及其科学合理的应用，更重要的是数学的思维方法，这些包括思考问题的方式，所运用的数学方法及处理技巧等，特别应致力于“双向”翻译、逻辑推理、联想和洞察四种基本能力的培养。此外，还需要提高动手能力，这包括自学、文献检索、计算机应用、科技论文写作和相互交流能力，特别应有意识地增强文字表述方面的准确性和简明性。在平时的学习工作中不断积累、训练掌握必要的知识技能。