四色定理（四色定理的初等证明）中国地图

四色定理的初等证明

数学的思维方式：公理(公设)——定义——命题——定理

公理与公设（试证四色定理）

公理1

与同一个量相等的两个量，相等。

Example: 如果 a=b b=c

那么 a=c

公理2

等量的任何相同运算都相等。

Example: 如果 a=b

那么 an=bn

a±c=b±c

a！=b！

a÷c=b÷c

a×c=b×c

公理3

彼此重合的两个图形，全等。

公理4

整体大于它的部分。

整体都是它自身局部的连续叠加。

公理5

不共线的三个点可以确定一个平面。

两条相交的直线可以确定一个点。

不重合的两个点可以确定一条直线。

两个相交的平面也可以确定一条直线。

公设1

从一点到另外一点可以引直线。

公设2

直线可以无限地延长。

平面可以无限地延展。

体积可以无限地膨胀。

圆点可以无限地缩小。

公设3

以任意一点为圆心，任意线段为半径，可以画圆。

公设4

所有的直角都相等。

所有的平角都相等。

所有的周角都相等。

公设5

在同一平面内，

如果两直线相交于一点，那么，它们所形成的角度必定大于0。

如果两直线平行或重合，那么，它们所形成的角度必定等于0。

也就是说，

在同一平面内，有两条不重合的直线，

如果它们所形成的角度大于0，

那么，它们必定相交于一点。

如果它们所形成的角度等于0，

那么，它们必定平行。

公设6

在两个彼此平行的平面内，

不在同一个平面内的两条直线，即使交叉，也会彼此平行，不会相交于任何平面上的一点。

命题L：（相交共点原理）

在同一平面内，任何两条相交的直线，都是共点直线。

证明:

假设在同一平面内，有两条相交的直线，但它们并不共点。

根据公设6，

在两个彼此平行的平面内，

不在同一个平面内的两条直线，即使交叉，也会彼此平行，不会相交于任何平面上的一点。

说明这两条直线根本没有在同一平面内。

即，假设是错误的。

所以，命题L成立，

在同一平面内，任何两条相交的直线，都是共点直线。

也就是说，“同一平面内，不存在交叉直线，只存在共点直线。”

例题：试证四色定理

四色定理：任何一张地图，只用四种颜色着色，就能使具有共同边界的国家区分开来，相邻的国家颜色不同。简而言之，“一张地图，四色足够”。

证明:

相交共点原理：

在同一平面内，任何两条相交的直线，都是共点直线。

在地图上，忽略海洋和空间阻隔，每个国家都是一个闭合的图形，并且彼此为邻。

如果某个国家有一个邻国，它们必定共线2点以上。

地图也是有边界，处于地图外围的国家邻国少，处于地图中央的国家邻国多。

领国数最少是1，最多是6。地图一般都是这样。

命题R：

彼此相邻，颜色不同。

假设地图上的每个国家都有4个邻国，那么用4种颜色着色，是足够的。

四色循环图：

四色循环图

如上图，

每个闭合的形状，表示一个国家，即：矩形或“7”字矩形。

共线于2点，表示国家相邻。

颜色：

.

四色循环数列：1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4，…

四色循环数列的特点：

第4(n-1)+1项为1，

第4(n-1)+2项为2，

第4(n-1)+3项为3，

第4(n-1)+4项为4，【n为正整数】

填色规则：

按照“四色循环数列”规律填充。

第一象限：1，2，3，4，1，2，3，4，1，…

第二象限：2，3，4，1，2，3，4，1，2，…

第三象限：3，4，1，2，3，4，1，2，3，…

第四象限：4，1，2，3，4，1，2，3，4，…

数列是无穷的，所以，四色循环图可以无限延展。

在四色循环图中，

“7”字矩形的国家都具有4个邻国，即使是最外围的国家也一样。

最中心四个“小矩形”国家，也可以有4个邻国。

原因如下：

一个与自身边界相对的国家，可以与自身颜色相同，

1个不同颜色的边界相对的国家相当于1个邻国，称为“准邻国”。

3个邻国 + 1个准邻国 = 4个邻国

所以，四色循环图中，最中心的四个国家都可以有4个邻国。

结论：

四色循环图中，每个国家都可以有4个邻国，并且4种颜色彼此相邻，颜色不同。

命题R成立。

命题S：

给地图着色，所需要的颜色种数，

等于各个国家邻国数的平均值,

即，着色种数 =（邻国数1+邻国数2+…+邻国数n）/n

命题A：

给地图着色，所需要的颜色种数，

等于最大邻国数与最小邻国数的平均值,

最小邻国数1，

即，着色种数 =（最大邻国数+1）/2

分析：

四色定理的核心是命题R，

命题S和命题A是等价的，它们都是命题R的拓展。

地图上，最大邻国数是6，最小邻国数是1，平均邻国数为（1+6）/2 =3.5

四色循环数列：1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4，…

假设每个国家都有4个邻国，取4种颜色，也就相当于每个国家都拥有4种颜色。

那么，

在一个循环周期里，邻国少的，颜色有节余，邻国多的还差一些，

它们能够用吗？

颜色节余计算：

（4-1）+（4-2）+（4-3）+（4-4）-（5-4）-（6-4）

= 3+2+1+0-1-2

= 3

在一个循环周期里，颜色有节余，说明4色足够。

若最大邻国数为7呢？

（4-1）+（4-2）+（4-3）+（4-4）-（5-4）-（6-4）-（7-4）

= 3+2+1+0-1-2-3

= 0

当最大邻国数为7时，在一个循环周期里，颜色刚刚好，4色足够。

当最大邻国数大于7时，在一个循环周期里，4种颜色不够用。

如果取3种颜色会怎么样呢?

颜色节余计算：

（3-1）+（3-2）+（3-3）-（4-3）-（5-3）-（6-3）

= 2+1+0-1-2-3

= -3

最大邻国数为6，取3种颜色时，在一个循环周期里，颜色还差3个，说明3色不够。

综上所述，

一张地图，4色足够，四色定理是正确的。

作者注：如有不足，还望指正。

数学和数学的规律，

她就在那里，

正在等待着，热爱她的人去发掘、去发现。