指数函数定义域(指数函数的定义域和值域)
指数函数的定义
一般地,函数(a为常数且以a>0,a≠1)叫做指数函数,函数的定义域是 R 。
常见的一类指数函数的底(e为自然常数,即等于
),即
。
上式中的自变量为实数。后来,数学家们将自变量的取值范围延拓到复数域,则指数函数变为
,其中自变量
为复数。当
时,
,这就是著名的欧拉恒等式。
那么,当自变量为矩阵时,是个什么情况?
指数是矩阵的指数函数咋来的?
我们假定有这样一个参数微分方程组:
不难发现该方程组的一组特解是圆的方程:
上述微分方程组用矩阵形式表示为:
也即
其中矩阵
这个方程进一步表示为
将视为一个变量,采用分离变量法解该微分方程,得到
也即
这样就求得
也即
带入值后,变成了
我们得到了一个非常简洁的指数为矩阵的指数函数!
如何理解指数为矩阵的指数函数?
通常的可以理解为
,
可以理解为
,
。如果指数不是整数但是有理数时,则指数可以用分数来表示,如
可以理解为
。如果指数是无理数,则如何理解呢?
这个时候,需要借助泰勒级数这个超级数学工具:
这个级数对复数也成立,也即
如果将该公式的指数推广到矩阵,则应该得到
上式中,表示为
个
矩阵的乘积。当
为零时,
为单位矩阵
。
我们根据上述延拓到矩阵指数的泰勒技术计算一下时
的值。带入公式得到
计算如下值并带入上式:
其中
...
得到
将各项的矩阵相加,进一步得到
我们发现上述等式右边的2×2矩阵,正好与正弦、余弦的泰勒公式对应:
这样,我们就推导出
令,则得
也即
这个式子与欧拉恒等式
完全对称:
为单位矩阵,与实数或复数域的
对应;
矩阵与虚数单位
对应。由于
,我们发现
,也即
;
如果记为
,则
(
矩阵的平方为负单位矩阵!!!),
矩阵为虚单位矩阵。则我们得到非常优雅的矩阵域的欧拉恒等式:
此外,与
也有类似的性质:
同样的,借鉴,我们可以将前面推导出来的结论:
修改为矩阵领域的欧拉公式:
因为:
,
这里,我们不得不惊叹于数学的完美!!!
用GeoGebra验证矩阵指数的泰勒公式,结果正确:
我们在试着求一下的值:
极氪001
再来验算一下时,用泰勒公式计算
的值:
用上述刚推导出来的欧拉公式计算的值: