弧长的计算公式(求弧长的两种计算公式)21-07-07 02:08·睿众教育
第一单元 二次根式
1、二次根式
二次根式
二次根式必须满足：
含有二次根号
被开方数a必须是非负数。
判断二次根式
2、最简二次根式
若二次根式满足：
被开方数的因数是整数，因式是整式；
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
分母中不含根号
这样的二次根式叫做最简二次根式。
最简二次根式
3、二次根式的性质
二次根式性质
4、二次根式混合运算
二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。
二次根式混合运算
第二单元 一元二次方程
1、一元二次方程
一元二次方程一般形式
2、一元二次方程的解法
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
（1）直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
具体如下图所示：
直接开平方（整体思想）
（2）配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法公式推导
具体如下图所示：
配方法示例1
再看一道例题
配方法示例2
（3）公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
公式法步骤
（4）因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
因式分解思维导图
因式分解相关公式
下图是十字相乘法分解因式：
十字相乘法步骤
3、一元二次方程根的判别式
根的判别式（非常重要）
①当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
②当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；
③当△<0时，一元二次方程没有实数根
根的判别情况
4、一元二次方程根与系数的关系
根于系数的关系
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
第三单元 旋转
一、旋转
1、定义
把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
2、性质
对应点到旋转中心的距离相等。
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
二、中心对称
1、定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
2、性质
关于中心对称的两个图形是全等形。
关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3、判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
4、中心对称图形
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。
5、坐标系中对称点的特征（重点）
坐标系中对称点的特征
第四单元 圆
一、圆的相关概念
圆
1、圆的定义
在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、圆的几何表示
以点O为圆心的圆记作"⊙O"，读作"圆O"
二、弦、弧等与圆有关的定义
（1）弦
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（2）直径
经过圆心的弦叫做直径。
直径等于半径的2倍。
（3）半圆
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（4）弧、优弧、劣弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号"⌒"表示。大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）。
弧、优弧、劣弧
三、垂径定理及其推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
垂径定理
推论1：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理推论
四、圆的对称性
1、圆的轴对称性
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理（重难点）
1、圆心角
顶点在圆心的角叫做圆心角。
圆心角
2、弦心距
从圆心到弦的距离叫做弦心距。
弦心距
3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
六、圆周角定理及其推论（重点）
1、圆周角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2、圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
七、点和圆的位置关系
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
点和圆的位置关系
八、过三点的圆
1、过三点的圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
2、三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外心
三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）
圆内接四边形对角互补。
九、反证法
先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。
十、直线与圆的位置关系
直线和圆有三种位置关系，具体如下：
（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；
（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，
（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：
线和圆的位置关系
十一、切线的判定和性质
1、切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径。
十二、切线长定理
1、切线长
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
切线长定理
十三、三角形的内切圆
1、三角形的内切圆
与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
三角形的内切圆
2、三角形的内心
三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。如上图O是三角形的内心。
十四、圆和圆的位置关系
1、圆和圆的位置关系
如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。
如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。
如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。
圆和圆的位置关系
2、圆心距
两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。
3、圆和圆位置关系的性质与判定
设两圆的半径分别为人r1和r2，圆心距为d，那么
两圆外离d>r1+r2
两圆外离
两圆外切d=r1+r2
两圆外切
两圆相交r1-r2<d<r1+r2（r1>r2）
两圆相交
两圆内切d=r1-r2（r1>r2）
两圆内切
两圆内含d<r1-r2（r1>r2）
两圆内含
4、两圆相切、相交的重要性质(重点)
如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
十五、正多边形和圆
1、正多边形的定义
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2、正多边形和圆的关系
只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
十六、与正多边形有关的概念
1、正多边形的中心
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
2、正多边形的半径
正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
3、正多边形的边心距
正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
4、中心角
正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
正多边形有关的概念
十七、正多边形的对称性
1、正多边形的轴对称性
正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。
2、正多边形的中心对称性
边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
3、正多边形的画法
先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
十八、弧长和扇形面积
1、弧长公式：n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：
弧长公式
2、扇形面积公式：
扇形面积公式
其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。
3、圆锥的侧面积
圆锥的侧面积和全面积
其中R是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。
